Nhắc lại về đường đi trong không gian X {\displaystyle X} là ánh xạ liên tục α {\displaystyle \alpha } từ khoảng [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} trong tô pô Euclid vào X {\displaystyle X} . Điểm α ( 0 ) {\displaystyle \alpha (0)} được gọi là điểm đầu và điểm α ( 1 ) {\displaystyle \alpha (1)} được gọi là điểm kết thúc.[1]
Đặt α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } là hai đường từ a {\displaystyle a} sang b {\displaystyle b} trong X {\displaystyle X} . Một phép đồng luân từ α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } là họ các ánh xạ: F t : X → X , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle F_{t}:X\rightarrow X,t\in [0,1]} , như vậy ánh xạ ( t , s ) → F t ( s ) {\displaystyle (t,s)\rightarrow F_{t}(s)} là liên tục, F 0 = α , F 1 = β {\displaystyle F_{0}=\alpha ,F_{1}=\beta } , và với mọi điểm t {\displaystyle t} đường F t {\displaystyle F_{t}} đi từ a → b {\displaystyle a\rightarrow b} .[1]
Nếu có một phép đồng luân từ α → β {\displaystyle \alpha \rightarrow \beta } chúng ta nói rằng α {\displaystyle \alpha } đồng luân với β {\displaystyle \beta } , thường ký hiệu là α {\displaystyle \alpha } ~ β {\displaystyle \beta } .[1]
Một vòng hay một đường đi đóng tại a ∈ X {\displaystyle a\in X} là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là a {\displaystyle a} . Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục α : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle \alpha :[0,1]\rightarrow X} sao cho α ( 0 ) = α ( 1 ) = α {\displaystyle \alpha (0)=\alpha (1)=\alpha } . Vòng bất biến là vòng mà α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} = α {\displaystyle \alpha } với mọi t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} .[1]
Trong không gian định chuẩn hai đường α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } cùng điểm đầu và cùng điểm cuối là đồng luân. Thông qua đồng luân ( 1 − t ) α + t β {\displaystyle (1-t)\alpha +t\beta } .
Mệnh đề
Quan hệ đồng luân trên các tập của tất cả các đường từ a {\displaystyle a} sang b {\displaystyle b} là mối quan hệ tương đương.[1]
2. Nếu không gian X {\displaystyle X} có sự biến dạng co rút lại thành không gian con A {\displaystyle A} thì X {\displaystyle X} là đồng luân với A {\displaystyle A} .[1]
3. Nếu α {\displaystyle \alpha } ~ α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} và β {\displaystyle \beta } ~ β 1 {\displaystyle \beta _{1}} thì α ⋅ β {\displaystyle \alpha \cdot \beta } ~ α 1 ⋅ β 1 {\displaystyle \alpha _{1}\cdot \beta _{1}} . Thì chúng ta có thể định nghĩa [ a ] ⋅ [ b ] = [ α ⋅ β ] {\displaystyle [a]\cdot [b]=[\alpha \cdot \beta ]} .[1]
4. Nếu α {\displaystyle \alpha } là đường từ a {\displaystyle a} sang b {\displaystyle b} thì α ⋅ α − 1 {\displaystyle \alpha \cdot \alpha ^{-1}} là đồng luân chứa vòng tại a {\displaystyle a} .[1]
5. Đặt γ {\displaystyle \gamma } là đường từ x 0 {\displaystyle x_{0}} sang y 0 , π 1 ( X , y 0 ) {\displaystyle y_{0},\pi _{1}(X,y_{0})} là nhóm cơ bản của X {\displaystyle X} tại x 0 {\displaystyle x_{0}} thì ánh xạ:
γ ∗ : π 1 ( X , x 0 ) → π 1 ( X , y 0 ) {\displaystyle \gamma ^{*}:\pi _{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi _{1}(X,y_{0})} [ f ] ↦ [ γ − 1 ⋅ f ⋅ γ ] [ {\displaystyle [f]\mapsto [\gamma ^{-1}\cdot f\cdot \gamma ][} là đồng phôi.[1]
